Πατέρας του ήταν ο γνωστός στρατιωτικός και θεατρικός συγγραφέας Παντελής Χορν. Νονά του η μεγάλη ηθοποιός Κυβέλη Ανδριανού. Αποφοίτησε από τη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου το 1940. Έκανε το ντεμπούτο του το 1940 στην οπερέτα του Στράους "Η Νυχτερίδα". Αμέσως μετά εμφανίστηκε στο "Θέατρο Ρεξ" της Μαρίκας Κοτοπούλη σε πρωταγωνιστικούς ρόλους. Ανάμεσα σ΄ αυτά "Δωδεκάτη νύκτα", "Ριχάρδος Β'", "Ριχάρδος Γ'", "Άμλετ", "Τίμων ο Αθηναίος" (Σαίξπηρ), "Ημερολόγιο ενός τρελού" (Γκόγκολ), "Ιβάνωφ" (Τσέχωφ), "Ερρίκος Δ'" (Πιραντέλο).
Το 1943 - 1944 συμμετείχε στο θίασο Κατερίνας. Το 1944 συγκρότησε δικό του θίασο με τη Μαίρη Αρώνη και αργότερα με τη Βάσω Μανωλίδου. Το 1945 συνεργάστηκε με το θίασο Μελίνας Μερκούρη και Νίκου Χατζίσκου. Από το 1946 έως το 1950 επέστρεψε στο Εθνικό Θέατρο. Το 1951 μετέβη στην Αμερική καιΑγγλία, όπου και παρέμεινε επί διετία παρακολουθώντας την εξέλιξη του θεάτρου.
Από το 1953 που επέστρεψε μέχρι το 1959 συγκρότησε μαζί με την Έλλη Λαμπέτη και το Γιώργο Παππά δικό τους θίασο και ανεβάζουν έργα όπως το "Νυφικό κρεβάτι", "Ο βροχοποιός" κ.ά., επιχειρώντας "τουρνέ" σε Κωνσταντινούπολη και Αίγυπτο.
Συμμετείχε μόλις σε δέκα κινηματογραφικές ταινίες, με αξιόλογες επιτυχίες όπως "Μια ζωή την έχουμε" (1958),"Μια του κλέφτη"(1960) (για την ερμηνεία του σε αυτή την ταινία ο Χορν τιμήθηκε με βραβείο Α' ανδρικού ρόλου στο φεστιβάλ Θεσσαλονίκης το 1960), " Αλίμονο στους νέους" (1961), "Η κάλπικη λίρα" (1954), "Το κορίτσι με τα μαύρα" (1956),"Ο μεθύστακας"(1950),"Η φωνή της καρδιάς"( 1942), "Χειροκροτήματα"(1944), "Κυριακάτικο ξύπνημα"(1954), και "Η Αθήνα τη νύχτα"(1962).
Ξακουστή η ραδιοφωνική εκπομπή του με τίτλο "Ο Ταχυδρόμος Έφτασε". Με μια σουρεαλιστική ειρωνεία στη φωνή του, διάβαζε φανταστικά γράμματα ακροατών, σε κείμενα του Κώστα Πρετεντέρη. Ο Δημήτρης Χορν "άφησε" και δεκάδες μαγνητοφωνήσεις θεατρικών έργων.
Ξακουστό είναι το επτάχρονο ειδύλλιο με τη μεγάλη Ελληνίδα ηθοποιό Έλλη Λαμπέτη, την οποία ανάγκασε να κάνει έκτρωση στο παιδί τους αν και δεν παντρεύτηκαν ποτέ. Πολλά χρόνια αργότερα παραδέχτηκε πως "...η Έλλη δεν ήταν η γυναίκα της ζωής μου". Πριν όμως υπήρξε παντρεμένος με τη Ρίτα Φιλίππου.
Το 1967, χρόνια μετά το τέλος της σχέσης του με την Λαμπέτη παντρεύτηκε την Άννα Γουλανδρή (χήρα Παπάγου), η οποία είχε ήδη δύο παιδιά. Έζησαν μαζί μέχρι το θάνατο της το 1988.Παρά τις ιδιοτροπίες του, ο συνδυασμός του ταλέντου με τη γοητεία και τη φινέτσα των τρόπων του τον ανέδειξε ως έναν από τους κορυφαίους Έλληνες ηθοποιούς. Λέγεται πως κάποτε μετά από το τέλος μιας παράστασης στην οποία πρωταγωνιστούσε, ζήτησε συγγνώμη για την "άθλια" ερμηνεία του από τους θεατές, οι οποίοι παρ' όλα αυτά τον καταχειροκρότησαν.
Μιλούσε Αγγλικά και Γαλλικά. Διετέλεσε Γενικός Διευθυντής της ΕΡΤ την περίοδο 1974 - 1975. Υπήρξε στενότατος φίλος του Κωνσταντίνου Καραμανλή. Το 1980 ίδρυσαν μαζί με τη σύζυγο του, Άννα Γουλανδρή, το Ίδρυμα Γουλανδρή-Χορν, σκοπός του οποίου είναι η μελέτη του ελληνικού πολιτισμού.
Τιμήθηκε από την ελληνική πολιτεία με το Χρυσό Σταυρό Γεωργίου Α'.
Ο Δημήτρης Χορν έπασχε τα τελευταία χρόνια της ζωής του από τη νόσο του Αλτσχάιμερ. Τελικά, πέθανε στις 16 Ιανουαρίου 1998, ύστερα από πολύμηνη μάχη, με την επάρατη νόσο. Κηδεύτηκε στο Α' Νεκροταφείο Αθηνών. Μετά το θάνατό του, καθιερώθηκε στη μνήμη του βραβείο (Βραβείο Χορν), το οποίο απονέμεται σε νέους ηθοποιούς του θεάτρου.
